《钉子板上的多边形》

【背景】

《钉子板上的多边形》是苏教版小学数学五年级上册中的一节探索规律的专题活动课。教材引导学生通过动手操作、观察比较和分析思考，探索并发现在钉子板上围出的多边形面积的一些有趣规律，鼓励学生用含有字母的式子表示发现的规律，帮助他们进一步感受字母表示数的意义和价值，提高对图形与几何问题的学习兴趣。在常规课堂中，教师一般都是选择几个具有代表性的多边形让学生观察思考，探索它们的面积与边上钉子数或内部钉子数之间的关系。这样的学习素材相对单一，不具有普遍性，不利于学生更好地体验和发现规律。如果让学生在实物钉子板上去围相应的多边形，操作也相对比较麻烦，严重影响课堂推进的效率。因此，课题组成员尝试采用数字化手段辅助学生进行规律的探究。自主开发设计的数字化实验工具软件，操作方便快捷，极大地提升了课堂的效率。学生依据自己的喜好，设计出的各种形状不同的多边形，又极大的丰富了学习的素材。这些多边形，虽然形状各异，但多样的差异性却将它们内在所蕴含的共同规律突显而出，更容易被学生所感知和发现，从而有效地突破了规律探究的难点。另外，有了数字化技术的支持，学生在探究活动中所形成的相关实验数据也能被有效地组织在了一起，通过相应的优化呈现，可以使学生的思维能更有效地聚焦在规律的形成过程中，助推学生更深入的理解和掌握钉子板上多边形面积的内在规律。

【过程】

教学目标：

1、使学生在观察、猜测、验证等活动中自主探索钉子板上多边形的面积与它内部及边上钉子数之间的关系，会用含有字母的式子表示发现的规律。

2、使学生经历数学实验研究的一般过程，让学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中，进一步感悟数学思想方法，积累数学活动经验。

3、使学生在探索活动中进一步丰富情感体验，培养科学探究的精神，激发学习数学的兴趣。

教学重点：探索钉子板上的多边形面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

教学难点：在具体情境中调整、明晰探究策略，体会数学研究的一般方法。

教学准备：安卓平板、数字化实验软件、数据服务器

教学过程：

一、课前活动：熟练操作，激发兴趣

1、师：【出示钉子板】,同学们，这是什么？

生：钉子板

师：在钉子板上，用橡皮筋可以围出不同的多边形。为了方便操作，我们用点子图模拟钉子板，一格长1厘米。点击不同的点，首尾相连后就能围出一个多边形。

   师：【画出一个长方形】，它的面积是多少？你怎样得出的？对于已学过的平面图形，可以用公式求出面积。

   师：【画出一个不规划图形，出示框线】，怎样求出面积？可以先数出整格数，再数出半格数，半格数除以2加上整格数。

   师：你想试试吗，在点子图上任意围两个多边形。画好后，点击拍照按钮，截屏上传作品。

学生尝试在平板上围多边形，熟练软件操作。集体展示学生围的多边形，师简单点评：大多数同学都已上传作品，平板操作水平不低啊。

2、介绍皮克与钉子板

师：同学们，你们知道吗？奥地利数学家皮克也非常喜欢钉子板。他通过研究，还在这小小的钉子板上还发现了一个数学秘密！是什么数学秘密呢？就让我们一起踏上今天的探索之旅。（板书课题：钉子板上的多边形）

二、实验探究：从简到繁，逐步深化

1、初步猜想

师：同兴们，数学史上很多规律的发现都是源自于猜想，没有大胆的猜想，就没有伟大的发现。【板书：大胆猜想】凭你的感觉猜想一下，钉子板上多边形的面积可能和什么有关呢？

生1：我认为可能和钉子数有关。

生2：我认为可能和多边形内部的钉子数有关。

生3：我认为可能和多边形边上的钉子数有关。

【择机板书：多边形的面积    边上钉子数    内部钉子数】

师：仔细观察同学们刚才画的多边形，边上的钉子数和内部的钉子数都在不断地变化着，这对我们研究多边形的面积与带来很多困难！那有什么办法使这复杂的情况变得简单一些呢？

生1：让内部钉子数先不变，先研究边上钉子数与多边形面积之间的关系。

生2：让边上钉子数先不变，先研究内部钉子数与多边形面积之间的关系。

师：这真是个了不起的想法，许多大数学家也是这样想的。这种策略叫控制变量。【出示：只让某一个量变化，固定其它因素，从而得到问题的结果。

——美国著名数学家舍费尔德先生《数学问题解决的常用探索策略》】

师：如果固定内部钉子数，你打算从内部钉子数是几开始？（内部钉子数为1）

师：为什么？

生：从1开始比较简单。

师：这也是个了不起的探索策略，很多数学问题都是从简单的情况开始研究。【出示：我国著名数学家华罗庚先生说：“要善于‘退’，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！”】今天，我们的研究就从内部钉子数为1的情况开始实验探究。【板书：实验探究】

2、实验活动一：

【出示活动要求】

（1）画一画：每人画出几个内部钉子数是1的多边形；

（2）算一算：算出自己所画多边形的面积；

（3）数一数：数数所画多边形的内部钉子数和边上钉子数；

（4）填一填：将相关数据填在表格内；

（5）议一议：观察表中数据，同桌讨论多边形的面积和它边上钉子数之间有怎样的关系？

活动完成后，组织展示和交流，说说有什么发现？

明确两点：①横向观察发现，当内部钉子都是1时，多边形的面积等于边上钉子数除以2。②纵向观察发现，边上钉子数多1枚，多边形的面积就增加0.5平方厘米。（板书：多边形的面积=边上钉子数÷2）

师：如果用大写字母S表示多边形的面积，小写字母n表示边上的钉子数，b表示内部的钉子数，你能用字母表示你发现的规律吗？

生：当b=1时，S=n÷2，用字母表示规律更简洁

3、实验活动二：

师：如果围成的多边形内部的钉子数为2时，多边形的面积与边上钉子数、内部钉子数之间又有怎样的关系呢？

活动要求：

（1）画一画：每人画出三个内部钉子数为2的多边形；

（2）电脑自动计算所画出多边形的面积；

（3）电脑自动填表；

（4）说一说：观察表中的数据，结合刚才发现的规律，你有什么新的发现？

活动完成后，组织展示和交流，说说有什么发现？

生1：多边形的面积不再是边上钉子数的一半。

生2：多边形的面积比边上钉子数的一半多1平方厘米。

生3：纵向看，边上钉子数多1枚，多边形的面积还是多0.5平方厘米。

师：你能用字母的式子来表示你发现的规律吗？

生：当b=2时，S=n÷2+1。

4、实验活动三：

师：我们从简单的情况入手，研究了多边形内部钉子数为1、2的情况，你接下来该研究什么了？

生：多边形内部钉子数为3、4、5……的情况。

师：不要忘记特殊的情况，还可以研究什么？

生：还要研究内部钉子数为0的情况。

师：观察一下，内部钉子数为1枚、2枚时，围成的多边形的面积与边上钉子数之间的关系。再推想一下，内部钉子数为3枚、4枚或0枚时，围成的多边形的面积与边上钉子数之间又有怎样的关系？

生：当b=3时，S=n÷2+2；当b=4时，S=n÷2+3；当b=0时，S=n÷2-1。

师：猜想是否正确呢？还需要验证。请大家小组合作，按要求进行验证。

【出示：活动要求】

（1）确定本组要验证的多边形内部钉子的数量；

（2）小组成员每人画三个符合要求的多边形，得出相应的研究数据；

（3）结合各成员的数据，在组内讨论、交流，得出验证的结论。

学生以小组为单位开展活动，教师巡视并作必要的指导。

集体交流，说说自己小组的验证结论。再说说理由。

板书：当b=0时，S=n÷2-1。

      当b=3时，S=n÷2+2；

      当b=4时，S=n÷2+3；

5、简化规律，形成结论：

师：刚才通过研究，同学们发现了钉子板上的多边形的面积与边上钉子数、内部钉子数之间存在着这么多条规律，你能合并成一个式子，表示出多边形的面积与边上钉子数、内部钉子数之间的关系吗？请在小组内讨论一下。

得出：S=n÷2+b-1

师：同学们真了不起！你们今天研究发现的这个规律正是奥地利数学家皮克在1899年发现的规律。这个规律也叫做“皮克定理”，被称为人类有史以来“100个最重要的数学定理”之一。

6、回顾小结：

师：回顾刚才我们的研究过程，我们是怎样一步步得出这个规律的？

生1：我们都是先提出猜想，然后通过实验进行验证，最后得出相应的结论。

生2：我们是先固定一个量，只改变其中的另一个量来逐步研究的。

生3：先从简单入手，先研究内部钉子数为1的情况，再逐步研究内部钉子数为2、3、4……以及0的情况，从而得出规律的。

小结：我们在进行数学实验研究时，一般都要经历“提出猜想——实验验证——得出结论”的研究过程。有时我们还有采用一些特殊的的研究策略，如：从简单入手、控制变量，只改变其中的一个量等等。

三、应用规律：解决问题，提升能力

1、练一练：你能应用发现的规律，计算出下面钉子板上围出的多边形的面积吗？选择其中的一题算一算。

学生练习并提交自己的作业。手写输入解题过程。友情提醒：选好起点在哪，要数对边上钉子数。

集体交流订正。

四、总结回顾。

师：通过今天的学习，你有哪些收获？

师：同学们发现的这个规律，就是大名鼎鼎的“皮克定理”。可是，同学们有没有想过，为什么在皮克定理的最后，要再减去1呢？

师：老师给大家推荐一本书，叫做《格点和面积》。在这本书里，你还能找到更多的数学奥秘！有兴趣的同学可以进一步去研究一下！

【效果】

本节课在数字化学习方式的有效支持下，学生的数学学习过程呈现出了四个鲜明的特征：有趣、个性、精彩、扎实。在生动有趣、富有个性色彩的实践探究活动中，学生充分体验了数学学习的乐趣，经历了数学实验探究的一般过程，明晰了皮克定理形成过程及其实践价值。在整个探究过程中，在数字化技术的支持下，学生的学习活动是开放的、是深入的、是充满个性的。他们的研究数据都能通过平台实时上传、汇总。在整个班级的实验数据的支持下，学生对皮克定理的认识逐渐明晰。整个过程扎实而有效，学生全身心地投入到探究过程之中，取得了良好的学习效果。